Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Din exemplele de mai sus și din regula semnelor pentru înmulțirea numerelor întregi, deducem următoarele
rezultate.
| Dacă a, b, c sunt numere întregi nenule, iar | b | și | c | sunt divizori ai lui | a |, atunci au loc simultan relațiile: a = b · c ⇔ b = a : c ⇔ c = a : b. | |
| 0 : a = 0; a : 1 = a; a : (–1) = –a; a : a = 1; a : (– a) = –1, oricare ar fi numărul întreg nenul a. | |
| Împărțirea la 0 nu are sens! | |
| Dacă a > 0, b > 0 și b | a, atunci a : b ∈ ℤ+ și a : b = | a | : | b |. | (+24) : (+3) = 24 : 3 = 8 |
| Dacă a < 0, b < 0 și | b | divide | a |, atunci a : b ∈ ℤ+ și a : b = | a | : | b |. | (–9) : (–3) = |–9| : |–3| = 9 : 3 = 3 |
| Dacă a > 0, b < 0 și | b | divide | a |, atunci a : b ∈ ℤ_ și a : b = – (| a | : | b |). |
(+21) : (–7) = –(| +21 | : | –3 |) =
= –(21 : 3) = –7 |
| Dacă a < 0, b > 0 și | b | divide | a |, atunci a : b ∈ ℤ_ și a : b = – (| a | : | b |). |
(–42) : (+2) = – (|–42| : | +2|) =
= –(42 : 2) = –21. |
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
a)
Pentru numerele întregi nenule a = 9 și b = –21, determinați numărul întreg c cu proprietatea că | c | este
divizor comun al numerelor că | a | și | b |.
b)
Pentru fiecare număr întreg c, identificat la subpunctul a), calculați a : c; b : c; a : b + a : c; a + b; (a + b) : c.
c)
Pentru valorile lui c, identificate la subpunctul a), probați egalitatea (a + b) : c = a : c + b : c, pe care o cunoaștem de la împărțirea numerelor naturale.
Rezolvare. a) | a | = 9 și D9 = {1, 3, 9}; | b | = 21 și D21 = {1, 3, 7, 21}. Divizorii comuni ai numerelor 9 și 21 sunt 1 și 3, deci | c | ∈ {1, 3}, adică c ∈{– 3, – 1, 1, 3}.
b)
| c | 9 : c | –21: c | 9 : c + (–21: c) | 9 + (–21) | [9 + (–21)] : c |
| –3 | –3 | +7 | (–3) + (7) = +4 | -12 | (–12) : (–3) = +4 |
| –1 | –9 | +21 | (–9) + (21) = +12 | -12 | (–12) : (–1) = +12 |
| +1 | +9 | -21 | (+9) + (-21) = -12 | -12 | (–12) : (+1) = -12 |
| +3 | +3 | -7 | (+3) + (-7) = -4 | -12 | (–12) : (+3) = -4 |
c)
Din tabel, rezultă că pentru toate numerele întregi c pentru care a : c și b : c sunt numere întregi, are loc egalitatea
(a + b) : c = a : c + b : c.
Reținem!
Dacă a, b, c, c ≠ 0 sunt numere întregi astfel încât a : c și b : c sunt numere întregi și a = b, atunci
a : c = b : c.
Dacă a, b, c, c ≠ 0 sunt numere întregi astfel încât a : c și b : c sunt numere întregi, atunci (a + b) : c = a : c + b : c și (a – b ) : c = a : c – b : c.
Dacă a, b, c, d, c ≠ 0 și d ≠ 0 sunt numere întregi astfel încât a : c și b : d sunt numere întregi, atunci (a · b ) : (c · d) = (a : c) · (b : d).
Dacă a, b, c, c ≠ 0 sunt numere întregi astfel încât a : c și b : c sunt numere întregi, atunci (a + b) : c = a : c + b : c și (a – b ) : c = a : c – b : c.
Dacă a, b, c, d, c ≠ 0 și d ≠ 0 sunt numere întregi astfel încât a : c și b : d sunt numere întregi, atunci (a · b ) : (c · d) = (a : c) · (b : d).
Capitolul 3 • Mulțimea numerelor întregi
77