|
Problemă rezolvată 1
a)
Scrieți numărul (–3)10 : [(–3)2 · (–3)2 ]2 ca o singură
putere cu baza –3.
b)
Efectuați calculele [(–2)12 · 510 ] : [(–2)9 · 57 ] și
scrieți rezultatul ca putere cu exponentul mai
mare ca 1.
c)
Considerăm numerele
x = (–2)11 · 810 și y = 341 : (–3)27 .
Determinați numerele naturale a și b, știind că (x · y) : (2a · 3b ) = 25 · 33 .
|
Soluție.
a)
(–3)10 : [(–3)2 · (–3)2 ]2 = (–3)10 : [(–3)2 + 2]2 =
= (–3)10 : [(–3)4 ]2 = (–3)10 : (–3)4· 2 = (–3)10 : (–3)8 = (–3)2 .
b)
[(–2)12 · 510 ] : [(–2)9 · 57 ] = [(–2)12 : (–2)9 ]· (510 : 57 ) =
= (–2)12 – 9 · 510 – 7 = (–2)3 · 53 = [(–2) · 5]3 = (–10)3 .
c)
x = (–2)11 · 810 = (–2)11 · (23)10 = –211 · 23 · 10 =
= –(211 · 230) = –211 + 30 = –241 ;
y = 341 : (–3)27 = 341 : (–327 ) = –341 – 27 = –314 .
Atunci, (x · y) : (2a · 3b) = ((–241 ) · (–314 )) : (2a · 3b ) =
= (241 · 314 ) : (2a · 3b ). Pentru a ≤ 41 și b ≤ 14, egalitatea din
enunț devine: 241 – a · 314 – b = 25 · 33 .
Deducem 41 – a = 5 și 14 – b = 3, adică a = 36 și b = 11. |
A compara două numere întregi x și y înseamnă a stabili care dintre relațiile x < y, x = y, x > y are loc.
Ne propunem să comparăm două numere întregi scrise sub formă de puteri.
Deducem ușor că două puteri care au aceeași bază și același exponent reprezintă două numere egale.
Pentru a compara puterile a două numere întregi este recomandat să stabilim semnul fiecărei puteri. Dacă cele două puteri au același semn, atunci se compară mai întâi modulele lor.
Dacă numerele se pot scrie ca două puteri cu același exponent, sau ca două puteri cu aceeași bază, aplicând tehnicile de comparare a puterilor numerelor naturale și folosind corect semnele numerelor întregi comparate, obținem următoarele rezultate:
Ne propunem să comparăm două numere întregi scrise sub formă de puteri.
Deducem ușor că două puteri care au aceeași bază și același exponent reprezintă două numere egale.
Pentru a compara puterile a două numere întregi este recomandat să stabilim semnul fiecărei puteri. Dacă cele două puteri au același semn, atunci se compară mai întâi modulele lor.
Dacă numerele se pot scrie ca două puteri cu același exponent, sau ca două puteri cu aceeași bază, aplicând tehnicile de comparare a puterilor numerelor naturale și folosind corect semnele numerelor întregi comparate, obținem următoarele rezultate:
| Dacă a ∈ ℤ, a ≥ 2, m∈ℕ și n ∈ℕ, atunci an < am ⇔ n < m. | 23 < 25 ; 7100 < 7101 |
| Dacă a ∈ ℤ+ , b ∈ ℤ+ și n ∈ℕ, atunci an < bn ⇔ a < b. | 23 < 33 ; 7100 < 8100 |
| Dacă a ∈ ℤ_, b ∈ ℤ_ și n ∈ℕ, număr par, atunci an < bn ⇔ a > b. | (–2)4 < (–3)4 și –2 > –3 |
| Dacă a ∈ ℤ_, b ∈ ℤ_ și n ∈ℕ, număr impar, atunci an < bn ⇔ a < b. | (–7)5 < (–3)5 și –7 < –3 |
| Dacă a ∈ ℤ, b ∈ ℤ și n este impar, atunci an < bn ⇔ a < b. | (–2)3 < 33 și –2 < 3 |
Problemă rezolvată 2
a)
Completați puteri ale numerelor –1, 1, –2, 2 în tabelul alăturat.
b)
Pentru a negativ, stabiliți semnul puterilor cu exponent
impar.
c)
Intuiți relația între (–a)n și –an , a ∈ ℤ*.
| a | a0 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 |
| –1 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 |
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 |
| –2 | +1 | –2 | +4 | –8 | +16 | –32 | +64 |
| +2 | +1 | +2 | +4 | +8 | +16 | +32 | +64 |
c) (–a)n = [(–1) · a]n = (–1)n · an . Dacă n este număr par, atunci (–a)n = (+1) · an = an , iar dacă n este impar, atunci (–a)n = (–1) · an = – an .
Reținem!
1n = 1, oricare ar fi n ∈ℕ;
(–1)n = 1, oricare ar fi n ∈ℕ, n par;
(–1)n = –1, oricare ar fi n ∈ℕ, n impar.
Dacă n este număr natural impar, atunci (–a)n = –an , oricare ar fi a ∈ ℤ.
80
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a