3.3. Ecuații, inecuații, probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor/inecuațiilor în ℤ

Ecuații în mulțimea numerelor întregi

Ne amintim

Două numere întregi x și y sunt egale dacă și numai dacă sunt reprezentate pe axa numerelor în puncte identice. Vom scrie x = y.
Relația de egalitate, pe mulțimea numerelor întregi, are proprietățile:

a) este reflexivă: Orice număr întreg este egal cu el însuși, adică x = x, oricare ar fi x, număr întreg.

b) este simetrică: Dacă x = y , atunci y = x .

c) este tranzitivă: Dacă x = y și y = z , atunci x = z .

În algebră, se folosește relația de egalitate și pentru formularea unor enunțuri cu una sau mai multe variabile sau pentru scrierea unor ecuații.
Într-o egalitate, expresia scrisă în partea stângă a semnului „=” se numește membrul stâng al egalității, iar expresia scrisă în partea dreaptă a semnului „=” se numește membrul drept al egalității.

Rezolvăm și observăm

Unele probleme din viața cotidiană se încadrează perfect în modele matematice generale.

Enunț	Interpretare
Problema 1. Felix este cu doi ani mai mic decât sora sa și cu 5 ani mai mare decât fratele său. Împreună, cei trei frați au 21 de ani. Determinați vârsta lui Felix.	Datele problemei pot fi interpretate astfel: Notăm cu x vârsta lui Felix. Atunci, sora sa are x + 2 ani, iar fratele său are x – 5 ani. Împreună, au x + (x + 2 ) + (x – 5) ani.

Din perspectiva interpretării de mai sus, avem de rezolvat problema determinării numerelor întregi x pentru care x + (x + 2 ) + (x – 5) = 21.
Această problemă se poate reformula astfel:

Rezolvați ecuația x + (x + 2 ) + (x – 5) = 21, în mulțimea numerelor naturale.

Rezolvarea ecuației și interpretarea soluției

Folosind proprietățile adunării, prin metoda mersului invers, ecuația devine:
x + x + 2 + x – 5 = 21 ⇔ 3x – 3 = 21 | + 3
3x = 24 | : 3
x = 8.

Datele problemei pot fi interpretate astfel: Notăm cu x vârsta lui Felix. Atunci, sora sa are x + 2 ani, iar fratele său are x – 5 ani.
Împreună, au x + (x + 2 ) + (x – 5) ani.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Problema determinării numerelor x ∈ D, care verifică o egalitate dată se numește ecuație cu necunoscuta x, din mulțimea D. Mulțimea D se mai numește și domeniu al ecuației.	Problemă. Determinați numerele întregi din mulțimea ^D = {–5, 0, 2, 5}, cu proprietatea ^x ³ = 25 · ^x .
	Reformulare. Rezolvați în mulțimea D = {–5, 0, 2, 5}, ecuația x3 = 25 · x sau Rezolvați ecuația x3 = 25 · x, x ∈{–5, 0, 2, 5}.

Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale

Cuprins: