×

Cuprins:

Fiecare număr x ∈ D care verifică ecuația (egalitatea dată) este o soluție a ecuației.
A rezolva ecuația înseamnă a determina mulțimea tuturor soluțiilor acesteia, notată, de regulă, cu S. 		Pentru fiecare element din D, verificăm dacă este soluție a ecuației.
Înlocuind în ecuație x = –5, obținem –125 = –125, afirmație adevărată.
Înlocuind în ecuație x = 0, obținem 0 = 0, afirmație adevărată.
Înlocuind în ecuație x = 2, obținem 8 = 50, afirmație falsă.
Înlocuind în ecuație x = 5, obținem 125 = 125, afirmație adevărată.
În concluzie, numerele –5, 0, +5 sunt soluțiile ecuației și scriem
S = {–5, 0, +5}
Două ecuații sunt echivalente dacă au același domeniu și aceleași soluții. Ecuațiile 2 · x = –4, x ∈ ℤ și –4 · x – 8 = 0, x ∈ ℤ sunt echivalente deoarece ambele au necunoscuta din mulțimea ℤ și au aceeași mulțime de soluții: S = {–2}.
2 · x = –4 |: 2,
x = –4 : 2
x = –2.
–4 · x – 8 = 0 | +8
–4 · x = 8 |: (–4)
x = –2.
În ℤ, ambele ecuații au soluția x = –2.
Observație: Mulțimea soluțiilor unei ecuații este o submulțime a domeniului acesteia.
Pornind de la o egalitate, se pot obține egalități echivalente prin următoarele transformări:
Transformarea În limbajul simbolisticii matematice
Se adună sau se scade, din ambii membri ai egalității același număr întreg. x = y ⇔ x + a = y + a , oricare ar fi a ∈ ℤ;
x = y ⇔ x − a = y − a , oricare ar fi a ∈ ℤ.
Imagine Dacă x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, atunci x = y ⇔ x + 7 = y + 7. Imagine Dacă x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, atunci x = y ⇔ x − 7 = y − 7.
Se înmulțesc sau se împart ambii membri ai egalității cu același număr întreg nenul. x = y ⇔ x · a = y · a, oricare ar fi a ∈ ℤ*;
x = y ⇔ x : a = y : a, oricare ar fi a ∈ ℤ*.
Imagine Dacă x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, atunci x = y ⇔ x · 2 = y · 2. Imagine Dacă | x | ⋮ 2 și | y | ⋮ 2, atunci x = y ⇔ x : 2 = y : 2.
Dacă cei doi membri ai egalității sunt numere nenegative, atunci se pot obține egalități echivalente și dacă se ridică la puterea n, număr natural nenul, ambii membri ai egalității. Dacă x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, x ≥ 0 și y ≥ 0, atunci x = y ⇔ xn = yn, oricare ar fi n ∈ ℕ*.
Exemple de redactare a transformărilor echivalente ale unei egalități.
a)
x = y | · 3
3x = 3y | -1
3x -1 = 3y - 1
b)
x = y | · (-2)
-2x = -2y | +7
7 - 2x = 7 - 2y
c)
Pentru x ≥ y
x = y | ( )2
x2 = y2 | · 5
5x2 = 5y2 |
d)
-3x - 4 = 3y -4 | +4
-3x = 3y |:(-3)
x = -y
86
Matematică • Manual pentru clasa a VI-a