Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
1.
Rezolvați ecuația (x − 1)(2 x − 3)(2x + 8) = 0 în mulțimile ℕ și ℤ.
Rezolvare. În rezolvarea ecuației, vom folosi următorul rezultat matematic:
Dacă produsul a două sau mai multe numere întregi
este egal cu 0, atunci cel puțin unul din factori este 0.
Dacă a și b sunt numere întregi și a ⋅ b = 0 , atunci
a = 0 sau b = 0 .
Atunci, (x − 1)(2 x − 3)(x + 4) = 0 ⇔ x – 1 = 0 sau 2 x – 3 = 0 sau 2x + 8 = 0.
x – 1 = 0 | + 1
x = 1
1 ∈ ℕ și 1 ∈ ℤ
x = 1 este soluție și în ℕ și în ℤ.
x = 1
1 ∈ ℕ și 1 ∈ ℤ
x = 1 este soluție și în ℕ și în ℤ.
2x – 3 = 0 | + 3
2x = 3 și 3
2
2Ecuația nu are soluții nici în ℕ nici
în ℤ.
2x + 8 = 0 | – 8
2x = –8 | : 2
x = –4
–4 ∉ ℕ, dar –4 ∈ ℤ
x = –4 este soluție doar în ℤ.
2x = –8 | : 2
x = –4
–4 ∉ ℕ, dar –4 ∈ ℤ
x = –4 este soluție doar în ℤ.
Concluzie. În ℕ, mulțimea soluțiilor este S = {1}, iar în ℤ, mulțimea soluțiilor este S = { 1, – 4}.
Deducem că dacă domeniul unei ecuații se schimbă, este posibil să se schimbe și mulțimea soluțiilor.
Ecuațiile care se rezolvă cel mai ușor sunt cele de forma ax = b sau reductibile la ecuații de această formă (prin ecuații echivalente), unde a este un număr întreg nenul, iar b este număr întreg.
Evident, ecuația are soluție în ℤ doar dacă | b | ⋮ | a |, iar mulțimea soluțiilor, în acest caz, este S = {b : a}.
Ecuațiile care se rezolvă cel mai ușor sunt cele de forma ax = b sau reductibile la ecuații de această formă (prin ecuații echivalente), unde a este un număr întreg nenul, iar b este număr întreg.
Evident, ecuația are soluție în ℤ doar dacă | b | ⋮ | a |, iar mulțimea soluțiilor, în acest caz, este S = {b : a}.
2.
Rezolvați ecuația | 3x | = 12, x ∈ ℤ.
Rezolvare.
Din definiția modulului știm că există două numere întregi care au modului 12, cele care se reprezintă
pe axa numerelor la distanța 12 de origine. Atunci, 3x = 12 sau 3x = –12. Cum 12 ⋮ 3, obținem soluțiile
x1 = 12 : 3 = 4 și x2 = (–12) : 3 = –4, iar mulțimea soluțiilor este S = {–4, + 4}.
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1.
Copiați pe caiete și completați în spațiile libere
numere întregi astfel încât să obțineți egalități.
a)
−8 + … = −3;
b)
−10 − … = −4;
c)
−4 · … = 56;
d)
48 : … = −12;
e)
… : 9 = −108;
f)
(…)3 = −27.
2.
Alegeți litera care identifică răspunsul corect.
Doar un răspuns este corect.
a)
Numărul − 4 este soluție a ecuației:
A.
x + 1 = 5;
B.
x + 1 = −5;
C.
3 − x = 7;
D.
3 + x = −7.
b)
Numărul 3 este soluția comună a ecuațiilor:
A.
x + 3 = 0 și x − 6 = − 2;
B.
x − 3 = 0 și 5 − x = 2;
C.
3 − x = 0 și x + 8 = 12;
D.
−3 + x = − 6 și −30 : x = − 10.
c)
Ecuația care are soluții în mulțimea numerelor
întregi, este:
A.
2 · x + 1 = 22;
B.
3 · x − 4 = 16;
C.
13 − 2·x = 4;
D.
4·x −1 = −5.
3.
Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, ecuațiile:
a)
− 6 + x = −2;
d)
−124 : x = −31;
b)
x − 5 = − 8;
c)
−12 · x = 156;
e)
x : (1 − 9) = −72;
f)
x2 = 100.
4.
Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, ecuațiile:
a)
3 · x − 6 = 3;
b)
2 · x + 24 = 0;
c)
50 − 2 · x = 10;
d)
−11 · x + 22 = − 33;
e)
x + (−2)3 = −13;
f)
100 : (− 5) + 4 · x = 12.
5.
Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, ecuațiile:
a)
9 · (x − 7) = −63;
b)
(x + 4) : (− 2)2 = − 207 : 23;
c)
3 · x + 11 = x − 4;
d)
−4 · x + 6 = x + 1;
e)
−52 − 7 · x = 4;
f)
10 − (8 − x) = 13;
g)
−(−6 − x) + 5 = (−2)3;
h)
1 − 2 · [−3 − (4 − x)] = 5.
6.
Determinați numerele întregi x pentru care:
a)
| x | = 5;
b)
| −x | = 7;
c)
| x − 3 | = 0;
d)
| 2 − x | = 1;
e)
6 + | x − 4 | = 2;
f)
| −4 · x | +1 = 9.
Capitolul 3 • Mulțimea numerelor întregi
87
Exersează!
Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.