Rezolvăm și observăm

Problema 1	Interpretare
Determinați numerele întregi x cu proprietatea că, dacă la dublul numărului x adunăm numărul –12, obținem un număr întreg negativ.	Determinați numărul întreg x pentru care 2 · x + (–12) < 0.
Problema determinării numerelor întregi x pentru care 2 · x + (–12) < 0 se reformulează astfel: „Rezolvați în ℤ inecuația 2 · x + (–12) < 0.” sau „Rezolvați inecuația 2 · x + (–12) < 0, x ∈ ℤ.”
Rezolvăm inecuația: 2 · x + (– 12) < 0 ⇔ 2 · x – 12 < 0 \| +12 2 · x < + 12 \| : 2 și 2 > 0 x < 6.	1. Adunăm 12 la ambii membri. 2. Împărțim ambii membri la 2 > 0. 3. Aflăm soluțiile inecuației.
Sunt soluții ale inecuației toate numerele întregi mai mici decât 6, deci S = { …, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Problema determinării numerelor x ∈ D, care verifică o inegalitate dată se numește inecuație cu necunoscuta x, din mulțimea D. Mulțimea D se mai numește și domeniu al inecuației.	Problemă. Determinați numerele întregi din mulțimea D = {–5, 0, 2, 5}, cu proprietatea x² ≥ 20.
	Reformulare. „Rezolvați în mulțimea D = {–5, 0, 2, 6}, inecuația x² ≥ 20” sau „Rezolvați inecuația x² ≥ 25, x ∈ {–5, 0, 2, 6}”.
Fiecare număr x ∈ D care verifică inecuația (inegalitatea dată) este o soluție a inecuației. A rezolva inecuația înseamnă a determina mulțimea tuturor soluțiilor acesteia, notată, de regulă, cu S.	Pentru fiecare element din D, verificăm dacă este soluție a inecuației. Înlocuind în ecuație x = –5, obținem 25 ≥ 20, afirmație adevărată. Înlocuind în ecuație x = 0, obținem 0 ≥ 20, afirmație falsă. Înlocuind în ecuație x = 2, obținem 4 ≥ 20, afirmație falsă. Înlocuind în ecuație x = 6, obținem 36 ≥ 20, afirmație adevărată. În concluzie, numerele –5, și + 6 sunt soluțiile inecuației și scriem S = {–5, 6}.
Două inecuații sunt echivalente dacă au același domeniu și aceleași soluții.	Inecuațiile 2 · x ≥ –4, x ∈ ℤ și –4 · x – 8 ≤ 0, x ∈ ℤ sunt echivalente deoarece ambele au necunoscuta din mulțimea ℤ și au aceeași mulțime de soluții: mulțimea tuturor numerelor întregi mai mari sau egale cu – 2. 2 · x ≥ –4 \|: 2 și 2 > 0 x ≥ –4 : 2 x ≥ –2. –4 · x – 8 ≤ 0 \| +8 –4 · x ≤ 8 \|: (–4), –4 < 0 x ≥ – 2. Sunt soluții ale inecuației toate numerele întregi mai mari sau egale cu –2.

Pentru rezolvarea inecuațiilor sunt foarte utile transformările pe care le putem face așa încât să obținem alte inecuații, mai ușor de rezolvat, cu ajutorul cărora să găsim soluțiile inecuației inițiale .

Se adună sau se scade, din ambii membri ai inegalității, același număr întreg.	Dacă a și b sunt numere întregi cu a ≤ b, atunci a + c ≤ b + c și a – c ≤ b – c, oricare ar fi c ∈ ℤ.
Se adună membru cu membru două inegalități de același fel.	Dacă a, b, c și d sunt numere întregi cu a ≤ b și c ≤ d, atunci a + c ≤ b + d.
Se înmulțesc sau se împart ambii membri ai inegalității, cu același număr întreg pozitiv.	Dacă a și b sunt numere întregi cu a < b și c ∈ ℤ₊ , atunci a · c < b · c, iar dacă c \| a și c \| b, atunci a : c < b : c.
Se înmulțesc sau se împart ambii membri ai inegalității, cu același număr întreg negativ și se inversează relația de inegalitate.	Dacă a și b sunt numere întregi cu a < b, și c ∈ ℤ_– , atunci a · c > b · c, iar dacă c \| a și c \| b, atunci a : c > b : c.

Observație Proprietăți similare celor de mai sus au loc și pentru relațiile >, ≤, ≥.

Capitolul 5 • Noțiuni geometrice fundamentale

Cuprins: