Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Problema 1. Marius și Mihai au împreună 200 lei. Dacă Marius împrumută de la Mihai 14 lei, Mihai va avea de trei ori mai puțini bani decât Marius. Determinați suma pe care a avut-o fiecare la început.

Rezolvare:

*Pasul 1.* Stabilim necunoscuta.	Notăm cu a suma de bani pe care a avut-o Mihai la început.
Scriem în limbaj matematic relații între mărimile care apar în problemă.	Marius a avut la început 200 – a (lei). După ce Marius împrumută de la Mihai 14 lei, Marius va avea (200 – a) + 14 (lei), iar lui Mihai îi rămân a − 14 (lei).
*Pasul 2.* Scriem ecuația.	Deoarece suma lui Mihai este de trei ori mai mică decât cea a lui Marius, atunci a − 14 = [(200 – a) + 14] : 3.
*Pasul 2.* Rezolvăm ecuația.	a − 14 = [(200 – a) + 14] : 3 \| · 3 3a – 42 = 214 – a 4a = 256 a = 64 \| + (a + 42) \| : 4 Înmulțim cu 3 ambii membri ai ecuației. Adunăm a + 42 în ambii membri. Împărțim la 4 ambii membri ai ecuației.
*Pasul 4.* Interpretăm soluția și formulăm rezultatul.	Deducem că Mihai a avut la început 64 de lei, iar Marius a avut 200 – 64 = 136 (lei). Pentru siguranță, verificăm rezultatul. Într-adevăr, dacă Marius împrumută de la Mihai 14 lei, atunci Mihai va avea doar 50 de lei, care este o treime din suma de 150 de lei a lui Marius.

Răspuns: Mihai a avut 64 de lei, iar Marius a avut 136 de lei.

Problema 2.
Ioana a economisit 50 de lei, dar are o datorie de 250 de lei. Ea își propune să returneze această sumă, folosind cei 50 de lei și economisind în trei luni sume egale de bani.
Determinați cea mai mică sumă, număr întreg, pe care trebuie să o economisească Ioana în fiecare dintre cele trei luni.

Rezolvare. Notăm cu x suma de bani pe care o economisește Ioana într-o lună. Atunci, în cele trei luni, va economisi 3x lei.
Cum Ioana returnează datoria, economisind această sumă și folosind cei 50 de lei, înseamnă că 3x + 50 ≥ 250, adică 3x ≥ 200. Cum x este număr întreg, rezultă că 3x este un multiplu al lui 3, mai mare sau egal cu 200.
Atunci, 3x ∈ {201, 204, 207, …}. Cea mai mică sumă x este realizată pentru 3x = 201, adică x = 201: 3, deci x = 67.

Răspuns: Ioana trebuie să economisească lunar cel puțin 67 de lei.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Determinați un număr întreg, știind că dacă îl înmulțim cu −3, obținem același rezultat ca atunci când îl adunăm cu 20.

2. Determinați un număr întreg, știind că dacă îl împărțim la 4, obținem un număr cu 155 mai mic decât opusul său.

3. Diferența dintre un număr întreg și produsul opusului său cu 5 este −96. Determinați numărul.

4. Suma a cinci numere întregi consecutive este −45. Determinați cel mai mic și cel mai mare dintre numere.

5. Pe o foaie de hârtie sunt scrise trei numere întregi negative, diferite. Dacă scădem 13 din fiecare număr și adunăm rezultatele, se obține −45. Determinați cele trei numere.

6. Suma a zece numere întregi consecutive este −25. Calculați produsul acestor numere.

Matematică • Manual pentru clasa a VI-a

Cuprins: